피타고라스의 창

예전이나 요즘은 어떠한지 모르겠다만은, 나는 중학교 1학년 때 배웠는데, 정다면체에 대한 오일러의 정리라는 것이 있다. 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 된다는 것이다.

그러나 한 가지 아쉬운 것은 중딩수학에서는 이것과 관련하여 데카르트의 정리라는 것은 언급하지 않는다는 사실이다. 둘이 수학적으로는 동등한 내용이기에 사실 상관없기는 하지만, 데카르트가 엄연히 오일러보다는 짬밥이 높은데다가, 데카르트의 연구가 있었기에 오일러의 성취도 있는 것이므로, 데카르트에게도 어느 정도 크레딧이 돌아가야 한다고 여겨진다. 확인해 본 적은 없지만 프랑스 사람들이라면 데카르트-오일러 정리라고 하지 않을까? 아무튼 오늘은 부족했던 우리 중고딩 수학교육의 구멍을 메꾸려 펜을 들었다.

중학교에서 배우는 (볼록) 다각형에 관한 사실 하나는, 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 라는 것이다. 하도 오랜만에 들어보는 사실이라 생소한 사람이 많을테지만,

위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각들이고, 이 크기를 다 합하면 가 된다는 것이다. 증명은 중딩 사촌동생이나 혹은 조카에게 물어보도록 하자.

데카르트가 발견한 것은, 이 다각형에 대한 사실을 다면체 버전으로 확장한 것이다. 다면체의 한 점에서 외각이라는 말이 가장 적당한 지는 모르겠지만, 한 점에서의 외각이라는 것은 한 점에 모여있는 다각형들의 모든 각도를 더해서, 로 뺀 것을 말한다. 아래의 표를 보면 이해할 수 있다.

		점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체		4	6	4	4-6+4=2
정육면체		8	12	6	8-12+6=2
정팔면체		6	12	8	6-12+8=2
정십이면체		20	30	12	20-30+12=2
정이십면체		12	30	20	12-30+20=2

위키에서 표를 따다가 필요한대로 좀 수정해 보았다. V-E+F=2 라는 것이 오일러의 정리이고, 맨 오른쪽에 외각의 합이 언제나 가 된다는 것이 데카르트의 정리이다. 그러면 이게 왜 사실일까? 증명은 오일러 정리를 이용하는 쪽으로 생각을 해 보라. 그러면 오일러 정리는 어떻게 증명했나? 그것은 내가 대학교 2학년때 만든 환상적인 애니메이션을 보고 역시 각자 생각해 보도록 하자.

그러면 혹 누군가 이걸 묻고 싶을지도 모르겠다. 이걸 알아서 어디에 써먹을 수 있겠는가? 사실 살면서 써먹을 일은 거의 없다고 보면 된다. -_- 그래도 굳이 말을 하자면,

가령 정십이면체가 있는데, 갑자기 마음에 충동이 일어 점의 개수를 세고 싶어졌다고 하자.

그러면 점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인하고, 정오각형의 한 점의 내각의 크기가 라는 사실을 이용하면, 한 점에서의 외각이 가 된다는 것을 알수 있다. 그러면 를 이 숫자로 나누면 20을 얻게 된다. 안 세고도 알 수 있다니 얼마나 좋은가?

데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립한다.

그러면 축구공에는 점이 몇 개 있는가? 이걸 알고 싶으면, 무식하게 개수를 세다가 헤맬 것이 아니라,

0. 모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인한 후,

1. 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,

2. 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도

3. 따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도

4. 데카르트 정리를 이용하여 도

그러므로 축구공에는 점이 60개 있다!!!! 이것도 배우고 보니 나름 유용한 구석이 있지 않은가?

이 글과 관련있는 글을 자동검색한 결과입니다 [?]

• 휴대폰줄 by lshlj
• 축구와 물리학의 만남(한일2002 개최기념) by 바죠
• 삼각형의 내각의 합은 pi (180도) by 별아저씨
• 축구공 이야기 (이인호, July1999) by 바죠